Перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком

Линейные неравенства. Подробная теория с примерами

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Раз уж ты оказался на этой теме, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения».

Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение. Без усвоенной темы «Линейные уравнения» спокойное плавание в «Линейных неравенствах» не гарантировано.

Итак, надеюсь, ты уже знаком с линейными уравнениями, поэтому можно смело покорять неравенства!

Что такое «линейные неравенства»?

Если ты ознакомился с линейными уравнениями, то уже знаком с Васей, который раздавал яблоки своим друзьям. Давай вернемся к примеру с Васей (может, и нам что-то перепадет?).

Так вот, предположим, что у Васи больше, чем   яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. По сколько яблок получит каждый друг?

Если обозначить через   количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:

Дальше мы делим обе части составленного неравенства на   и получаем:

Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем   яблока.

Ну вот и справились с неравенством!

Например:

Все приведенные выше неравенства являются линейными.

Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.

Чтобы лучше распознавать линейные неравенства, настоятельно рекомендую тебе еще раз заглянуть в раздел «Скрытые» линейные уравнения или…» темы «Линейные уравнения. Начальный уровень.».

Линейные неравенства обладают не меньшим талантом «скрываться».

Чтобы не попасть впросак и с легкостью преобразовывать любые неравенства надо знать и успешно применять 3 очень важных правила. Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.

Правила преобразования неравенств

Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения.

Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.

В общем, это все пока только слова. Давай разбираться прямо на правилах.

Например,

Таким образом, можно с уверенностью сказать, что   равносильно  .

Или вот такой пример:

В теме «Линейные уравнения» говорилось, что для удобства принято переносить слагаемые с переменной в левую часть, а остальные в правую – так и поступим:

Здесь все должно быть понятно, перейдем к следующему правилу.

Вернемся к нашим двум предыдущим примерам.

В первом примере мы остановились на  . Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число  :

Заметил, знак неравенства как был «больше», так и сохранился? Все это потому, что мы делили на положительное число.

Давай закрепим на втором примере, где мы остановились на  . Разделим обе части неравенства на  :

Делили на положительное число  , поэтому знак неравенства сохранился.

Почему так акцентируется внимание на том, что знак неравенства   сохраняется? А вот потому, что в отличие от преобразований линейных уравнений, преобразования линейных неравенств имеют свою особенность, можно даже сказать «подводный камень». Что это за «камень» должно прояснить правило 3.

Заметил важное отличие от правила 2? Все верно:

• При умножении/делении на положительное число знак неравенства сохраняется
• При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

Например:

Делим на отрицательное число  , тогда знак неравенства меняется на противоположный:

Заметил, знак   (меньше) заменили на знак   (больше)?

Или вот такой пример:

Делим обе части на отрицательное число  , меняя при этом знак неравенства на противоположный:

Усвоил? Тогда давай закреплять на примерах

Не пугайся, что примеры, на первый взгляд, сложней, чем мы с тобой разбирали. Мы ведь знаем все необходимые правила преобразования линейных неравенств, а значит, не пропадем.

Ну что, приступим? Как-никак, это не Эверест покорять.

1.  

Раскроем для начала скобки и приведем подобные слагаемые:

А теперь можем применять наши правила преобразования линейных неравенств:

Запишем ответ:  .

2.  

Все, как в первом примере: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, осуществляем необходимые преобразования:

Неравенство у нас нестрогое, поэтому число   включается в наш промежуток:

Ответ:  

3.  
 

Думаешь это не линейное неравенство? А что мы говорили в теме Линейные уравнений об их «скрытности»?

Поспешных выводов делать не стоит, давай лучше проведем все возможные преобразования и убедимся, что это линейное неравенство, либо докажем обратное.

Сейчас будем делить обе части неравенства на отрицательное число  . Что же тогда произойдет со знаком неравенства? Все верно – он поменяется на противоположный!

Неравенство нестрогое, значит,   включается в наш промежуток.

Ответ:  

4.  

Проводим соответствующие преобразования:

Делим обе части на отрицательное число  , не забывая поменять знак неравенства на противоположный:

Неравенство нестрогое, поэтому   — не включается в промежуток:

Ответ:  

5.  

Этот пример проще, поэтому сразу запишу ход решения без комментариев:

Ответ:  

Линейные неравенства с двумя переменными

В теме Линейные уравнения достаточно подробно разобрано понятие линейного уравнения с двумя переменными. Линейное неравенство представляет собой практически то же самое, только знак равенства меняется на знак неравенства  .

А вся разница с линейным неравенством с одной переменной только в том, что в неравенство добавляется еще одна переменная  .

Решением неравенства с двумя переменными называется множество пар чисел  , которые удовлетворяют этому неравенству (т.е. при подстановке этих точек неравенство верно).

Для решения линейных неравенств с двумя переменными, используется графический способ.

Давай разберем вот такой пример:

Решение:

Как уже упоминалось, решается такое неравенство графически.

Построим график уравнения  . Как ты уже должен был знать из темы «Линейные уравнения», графиком будет прямая.

Строим график по двум точкам, через которые проходит прямая, к примеру,   и  . Вот, что у меня получилось:

Так как неравенство в этом примере у нас строгое, то координаты точек самого графика прямой не будут являться решением исходного неравенства. Поэтому обозначим линию пунктиром на графике:

Так как в исходном неравенстве у нас стоит знак  , то мы должны выбрать те точки, которые лежат выше графика прямой. Изобразим все решения неравенства на графике:

Все решения «затушеваны» голубым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты   и   любой точки из закрашенной области – решения неравенства.

Линейные неравенства. коротко о главном

Линейными неравенствами называются неравенства вида:

где   и   – любые числа, причем  ;   — неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак   на знак  , и наоборот; знак  на знак  , и наоборот).

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

Перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком

Иначе говоря, f(x) = g(x) f(x) — g(x) = 0 что является частным случаем эквивалентности (1)(2). Мы видим, что любое уравнение с одним неизвестным можно заменить эквивалентным уравнением вида h(х) = 0, т. е. перенос всех членов, кроме одного, имеющего радикал (корень n-ой степени), в другую часть уравнения.

Подчеркнем, что в этом пункте шла речь только о перенесении членов из одной части уравнения в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются). Приведение подобных членов является новым преобразованием (которое может вызвать появление посторонних корней).2. Приведение

Решение уравнений, правило переноса слагаемых

— Числа меняют свои знаки на противоположные!

Правило. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, знаки изменяем на противоположные! Используя это правило, решим наше уравнение.

Договоримся, что в левой части у нас будут жить слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой части, числа не содержащие буквенного множителя.

х + 5 = — 2х – 7 х + 2х = — 7 – 5 3х = -12 х = -12 : 3 х = — 4 Решим еще несколько уравнений: (Слайд 12) 7х = х – 12 8у + 9 = 33 6х – 5 = 4х + 8 27 + 3у = 10 у + 6 Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные уравнения к виду ах= в, где а≠ 0.

Уравнение вида ах = в, где а ≠0 называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Решаем N 1316 Домашнее задание §8 п. 42 N 1342 (а, б) Итог урока (Слайд 16) я познакомился с .- было непросто .- я добился .- у меня получилось .- хотелось бы .- мне запомнилось .- я попробую .

Жителям королевств надо было что-то придумать, чтобы не гневить своих королей.

Внимание Как вы считаете, что они придумали?

— Переходя мост они меняли цвет одежды на противоположный!

Договоримся, что в левой части у нас будут жить слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой части, числа не содержащие буквенного множителя. Средства тушения пожара и правила пользования ими § 6.

Первичные средства тушения пожаров К первичным средствам тушения загораний и пожаров относят различные огнетушители, песок, кошмы, внутренние пожарные краны.

Инфо Пользование ими рассчитано на любого человека, оказавшегося на месте […]

Основы алгебры/Правило переноса слагаемого

По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было. По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».

Возьмём уравнение: Допустим мы хотим перенести все иксы из левой части уравнения в правую. Вычтем из обеих частей Слева сократится с , и иксов не останется. Справа сократится с , и останется : Теперь можно привести подобные слагаемые: Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения.

Заменим неизвестную переменную получившимся результатом: Тождество верно. Правило для уравнений доказано, Возьмём неравенство: Допустим, мы хотим перенести все иксы из левой части неравенства в правую.

Вычтем из обеих частей. Слева сократится с , и иксов не останется.

Так как для него тождество доказано, то и

Презентация к уроку Перенос слагаемых в уравнении из одной части в другую

3. Найти неизвестный множитель. Реставрационная мастерская 7х+2=3х-10 7х-3х=-10 -2 4х= -12 х= -12 : 4 х= -3 Ответ: -3 Работа в парах Домашнее задание п.3.9, вклеить алгоритм в справочник, выучить алгоритм,№626(а-г), №627(д-з),составить 2 уравнения и решить их Рефлексия Знания о каком понятии мы сегодня повторили?

Приложенные файлы

1. Размер файла: 661 kB Загрузок: 1

Запись опубликована автором в рубрике .

Решение уравнений

слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а числа – в его правую часть, не забывая при переносе менять знаки на противоположные; 2) привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения; 3) разделить число в правой части на коэффициент при переменной.

Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Чтобы решить уравнение, содержащее подобные слагаемые нужно: 1) слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а

Линейные уравнения.

Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

Правило переноса слагаемого. При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус».

Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный. Кроме того, правило работает и для неравенств.

−3×2(2+7x)−4+y=0. Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения.

Получаем: −4+y=3×2(2+7x). Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3×2(2+7x)).

Поэтому нельзя отдельно переносить (−3×2) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3×2⋅2) и (7x).

Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x).

Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга. Таким же образом преобразовывают неравенства: 7x+25>14 Собираем каждое число с одной стороны.

Получаем: 7x>14−25 или 7x>−11 Доказательство.

2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было.

А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-». Это правило зачастую используется для решения . Для решения используются другие методы.

Как репетитор по математике борется с ошибками переноса слагаемых

В сочетании с параллельно производимой операцией вынужденного переписывания равенства с одновременной его трансформацией, ребенку просто не хватает ресурса контроля за производимыми действиями.

Как поступить репетитору по математике в подобной ситуации? Отказаться в 6 классе от переписывания? Я решаю проблему так: На какой-то период задания должны быть свободны от письма.

К нескольким уравнениям, включенным в планы урока, репетитором составляются специальные карточки с изображенными на них слагаемыми. Из них складывается левая и правая часть уравнения и выкладывается перед учеником на стол. На обороте каждой карточки репетитора по математике дублируются эти же слагаемые, но с другими знаками.

Источник: http://econsalting.ru/perenos-slagaemyh-iz-odnoj-chasti-v-druguju-s-protivopolozhnym-znakom-62471/

Линейные неравенства, примеры, решения

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения.  Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a·x+b>0, когда вместо > используется любой знак неравенства c и 0·x0 в первом, и a·x>c – во втором;

Считается, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0·x+5>0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем  случай а=0 не подойдет.

Определение 3

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x  считаются неравенства вида a·x+b0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, -23·x-27, −0,5·y≤−1,2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x, ≥), p являющееся некоторым числом, при a≠0, а вида a, ≥) при а=0.

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a·x+b, ≥), необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Определение 4

Алгоритм решение линейного неравенстваa·x+b, ≥) при a≠0

• число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a·x, ≥);
• будет производиться деление обеих частей неравенства  на число не равное 0. Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Пример 1

Решить неравенство вида 3·x+12≤0.

Решение

Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3·x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3·x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4.

Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3·x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3·x+12≤0;  3·x≤−12;  x≤−4.

Ответ: x≤−4 или (−∞, −4].

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7·z>0.

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется -2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число -2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7·z):(−2,7)0 получим значение -35. Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком >, тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше Ох. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью Ох красного цвета. Значит, открытый числовой луч -∞, -35 будет решением неравенства.  Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки -35 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с Ох.

Ответ: -∞, -35 или x0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Для решения такого вида неравенства  такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9

• раскрыть скобки;
• слева собрать переменные, а справа числа;
• привести подобные слагаемые;
• разделить обе части на коэффициент при x.

Пример 9

Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0.  Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида. 

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/linejnye-neravenstva-primery-reshenija/

Алгебра 7-9 классы. 1. Уравнения с одной переменной. Выражения и их преобразования — Всё для чайников

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ

Решим задачу: «На двух полках 40 книг, причем на верхней полке в 8 раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?»

Обозначим буквой х число книг на нижней полке. Тогда число книг на верхней полке равно Зх. По условию задачи на обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в виде равенства:

3x + x = 40.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями. Переменную в уравнении называют также неизвестным числом или просто неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение Зх + х = 40 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения. Равенство Зх + х = 40 верно при х = 10. Число 10 — корень уравнения Зх + х = 40.

Определение. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение Зх + х = 40 имеет один корень. Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или вообще не имеют корней.

Так, уравнение (х—4)(х — 5) (х—6)=0 имеет три корня: 4, б и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х—4) (х—5)(х—б), а значит, и само произведение.

Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше правой части.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнение х2=4 имеет два корня — числа 2 и —2. Уравнение (х—2) (х+2)=0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

https://www.youtube.com/watch?v=FbovVC6dE40

Уравнения обладают следующими свойствами:

1)    если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;

2)    если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение х2 — 2 = 7. Прибавив к левой и правой частям этого уравнения число 2, получим уравнение х2 = 9. Докажем, что уравнения х2 — 2 = 7 и х2 = 9 равносильны.

Пусть некоторое значение х является корнем первого уравнения, т. е. при этом значении- х уравнение х2—2 = 7 обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства число 2, мы снова получим верное равенство. Значит, при этом значении х второе уравнение также обращается в верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.

Допустим теперь, что некоторое значение х является корнем второго уравнения х2 = 9, т. е. обращает его в верное равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значении х первое уравнение также обращается в верное равенство. Поэтому каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Таким образом, уравнения х2 — 2 = 7 и х2 = 9 имеют одни и те же корни, т. е. являются равносильными.

Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств уравнений в общем случае.

3) Можно также доказать, что  если в уравнении перенести слагаемое ив одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую часто применяется при решении уравнений.

Линейное уравнение с одной переменной

Каждое из уравнений 5х = — 4,  — 0,2х = 0,  —х= —6,5 имеет вид ах = b где а и b — числа.  В первом уравнении а = 5, b= — 4, во втором а= —0,2, b = 0, в третьем а= — 1, b= —6,5. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение. Уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Число а называется коэффициентом при переменной, а число b — свободным членом.

Рассмотрим линейное уравнение ах = b, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим . Значит, линейное уравнение ах=b в котором а≠ 0, имеет единственный корень

Рассмотрим теперь линейное уравнение ах = b, у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и b≠ О, то уравнение ах =b не имеет корней, так как равенство Ox = b, где b≠ 0, не является верным ни при каком x. Если а = 0 и b = О, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Пример. Решим уравнение Раскроем скобки:

Перенесем слагаемое —х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую, изменив при этом их знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Заменяя последовательно одно уравнение другим, равносильным ему, мы получили линейное уравнение, в котором коэффициент при х отличен от нуля. Разделим обе части уравнения на этот коэффициент:

Число —5 является корнем уравнения .

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1891-algebra-7-9-klassy-1-uravneniya-s-odnoj-peremennoj-vyrazheniya-i-ikh-preobrazovaniya

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого

Правило переноса слагаемого. При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус».

Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный.

Кроме того, правило работает и для неравенств. Примеры переноса слагаемого: 5x+2=7x−6. Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую: 2=7x−6−5x.

Далее переносим (−6) из правой части в левую: 2+6=7x−5x. Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.

Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x). Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.

Таким же образом преобразовывают неравенства: 7x+25>14 Собираем каждое число с одной стороны. Получаем: 7x>14−25 или 7x>−11 Доказательство.

2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было.

А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-». Это правило зачастую используется для решения . Для решения используются другие методы.

Открытый урок: Решение уравнений с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую и использования правил раскрытия скобок

– С какими трудностями столкнулись в работе?

– Дайте оценку своей работе на уроке? – Что необходимо повторить для успешной работы на последующих уроках? Повторить правила – действия с десятичными дробями, № 857(5,6), 874(3) Притча «Листья и корни» Сын давно не навещал родителей.

Был он богатым купцом, владельцем огромного магазина и жил в большом городе.

Его магазин и склады с товарами сгорели дотла. Пошёл купец к банкиру, чтобы занять деньги на строительство нового магазина, а тот сказал: — Я не даю деньги в долг бедным людям.

Не хочу, чтобы их посадили в тюрьму за неуплату долга.

Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, меняя знак на противоположный

.Алгоритм решения уравнений:- раскрыть скобки;- привести подобные слагаемые;- перенести слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а числа – в другую; привести подобные слагаемые;- разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной;- записать ответ.________________________________________________________ .

Алгоритм решения уравнений:- раскрыть скобки;- привести подобные слагаемые;- перенести слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а числа – в другую; привести подобные слагаемые;- разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной;- записать ответ.________________________________________________________ .

Алгоритм

Правила переноса в уравнениях

Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».

Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на « 4 ».

Не забудьте, что делить нужно и левую , и правую части. Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент.

Как, например, в уравнении ниже.

2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид: , где и – любые числа ; 3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид: , где , и – любые числа . 4. Тождественные преобразования Чтобы определить является ли уравнение линейным или нет, необходимо произвести тождественные преобразования:

решебники и ГДЗ

Зх — 12 = 0.

Разность двух выражений равна нулю, значит, сами выражения равны: Зх = 12, х = 4. б) Зх — 2 = 10. Здесь мы имеем равенство двух выражений, значит, их разность равна нулю: (Зх — 2) — 10 = 0.

Раскроем скобки и упростим выражение в левой части уравнения: Зх — 2 — 10 = 0, Зх — 12 = 0, Зх = 12,х = 4. в) 2х — 2 = 10 — х. Рассуждая так же, как в предыдущем случае, получаем: (2х — 2) — (10 — х) = 0, 2х — 2 — 10 + х = 0, Зх — 12 = 0, Зх = 12,х = 4.

Нетрудно заметить, что решить уравнение можно, последовательно выполняя следующие действия: 1) перенести все слагаемые из правой части уравнения в левую часть, меняя при переносе знаки на противоположные; 2) привести подобные слагаемые; 3) слагаемое, не содержащее переменную, перенести в правую часть уравнения, поменяв его знак на противоположный; 4) разделить правую часть уравнения на коэффициент при переменной.

Источник: http://kupyury.ru/perenos-slagaemyh-iz-odnoj-chasti-v-druguju-s-protivopolozhnym-znakom-91042/

Перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком | Вопрос Юристу

Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос «Перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.

Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 21-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2007. — 280 с.: ил.

Указанное продиктовано одним из свойств умножения. Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.

Тождество, тождественные преобразования

Договоримся, что в левой части у нас будут жить слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой части, числа не содержащие буквенного множителя.

Решаем N 1316

Домашнее задание §8 п. 42 N 1342 (а, б)

Итог урока (Слайд 16)

• я познакомился с …— было непросто …— я добился …— у меня получилось …— хотелось бы …— мне запомнилось …

  — я попробую …

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь натурального числа, надо и в делимом, и в делителе перенести на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой.

В итоге я получил удар, хоть и слабый, но удар, в левый бок. Терпи, ты должен защищать свой прайд! Теперь, разочарованный взгляд на обоих и какую нибудь поучительную речь.

Как переносить числа из одной части уравнения в другую

Горят причудливо краски, И как ни мудра голова, Вы все-таки верьте в сказки Сказка всегда права. Асадов.

Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Словосочетание «решить уравнение» говорит само за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Известно, что произведение двух чисел есть нуль тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел является нулем.

Как решать линейные уравнения?

По его приходу, там окозалось не так уж и много детей. Но это было совершено не важно. Деку пробежал за горкой к забору и отодвинул одну доску. За ней же была тропинка в лес. Зачем такому малышу туда идти?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

По правилу переноса перенесем « 4x » из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо и в делимом, и в делителе запятую перенести на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой. После этого выполнить деление на натуральное число.

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, то есть, на один знак.

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение.

Хмм. Ничего не отменяется. Но я могу размножаться, чтобы создать отмену. В этом случае ни одна из переменных не является очевидным выбором для отмены. Я могу умножить для преобразования x — терминов в 12 x ‘s или y — терминов в 24 y’s.

А сейчас я вам прочитаю сказку, а вы послушав скажите какое правило мы можем применить для решения этого уравнения.

Учебники по математике за 2 класс

А теперь давайте составим алгоритм решения уравнений, содержащих неизвестное в обеих частях уравнения.

Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.

Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения.

С.М. Никольский, М.К. Потапов «Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений», М., «Просвещение»,2014.

Из этого утверждения следует, что для того, чтобы найти ранг матрицы, нужно с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду, а ранг такой матрицы легко найти, пользуясь определением.

Некоторые были с мутированными частями тела. Вон у того был длинный нос,а у той рыжей девочки были жабры! Но они все восхищались мной!

Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая.

Жохов В. И. Уроки алгебры в 7-9 классе: кн. для учителя / В. И. Жохов, Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение, 2010.

Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами – влево, без иксов – вправо». Какое выражение с иксом стоит справа? Правильно, , а не как не . И это важно, так как при неправильном понимании этого, казалось бы простого вопроса, выходит неверный ответ. А какое выражение с иксом стоит слева? Правильно, .

Вкоробке лежит 100 флажков поровну четырёх цветов — красного, синего, жёлтого и зелёного. какое наименьшее число флажков нужно взять не глядя, чтобы среди них оказалось хотя бы три флажка одного (любого) цвета?

Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример. При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.

Тождественные преобразования выражений

Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью перенос слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Если кто-то из Черного королевства переходил в Белое, то сразу попадал в немилость Белого короля, а, если кто-то из Белого королевства переходил в Черное, то попадал в немилость Черного короля. Жителям королевств надо было что-то придумать, чтобы не гневить своих королей. Как вы считаете, что они придумали?

Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный. Кроме того, правило работает и для неравенств.

Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.

Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах. Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.

Источник: https://autoxlam.ru/yekonomika/10509-perenos-slagaemykh-iz-odnoy-chasti-v-druguyu-s-protivopolozhnym-znakom.html